14秋福师《实变函数》在线作业12

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福师《实变函数》在线作业一
一,判断题
1. 函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：A
2. 可数集的测度必为零，反之也成立.
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：A
3. f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
4. 若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
5. 有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：A
6. 若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
7. 可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
8. L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
9. 当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
10. L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
11. 若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
12. 有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：A
13. 若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
14. 三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
15. f,g∈M(X),则fg∈M(X).
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
16. 增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B

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17. 若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：A
18. f可积的充要条件是f+和f-都可积.
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
19. f可积的充要条件:|f|可积。
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
20. 一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：A
21. 函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
22. 存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
23. 若f有界且m(X)<∞,则f可测。
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
24. 若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
25. 若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：A
26. 利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
27. 测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：A
28. 积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
29. 对任意可测集E，若f在E上可积，则有Lim_{n->+∞} n·M[E(|f|>=n)]=0.
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
30. 若|A|=|B|,|C|=|D|，则|A∪C|=|C∪D|.
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：A
31. 增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
32. f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
33. f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
      ?
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正确答案：A
34. 零测度集的任何子集都是可测集.
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：A
35. 绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
36. R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
37. 集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
A. 错误
B. 正确
      ?
正确答案：B
二,单选题
1. 若A为R^n中一疏集，则（ ）
A. Ac为稠集
B. A为开集
C. A为孤立点集
D. A不完备
      ?
正确答案：A
2. fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
      ?
正确答案：D